Algebra lineare Esempi

[\begin{matrix} - 3 & 4 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x y \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 17 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 17 \\ 7 \end{array}]$

Step 1

Il nucleo di una trasformazione è un vettore che rende la trasformazione uguale al vettore zero (la pre-immagine della trasformazione).

[\begin{matrix} - 17 7 \end{matrix}] = 0

$[\begin{array}{c} - 17 \\ 7 \end{array}] = 0$

Step 2

Crea un sistema di equazioni a partire dall'equazione del vettore.

- 17 = 0

$- 17 = 0$

7 = 0

$7 = 0$

Step 3

Somma

17

$17$ a entrambi i lati dell'equazione.

0 = 17

$0 = 17$

7 = 0

$7 = 0$

Step 4

Sottrai

7

$7$ da entrambi i lati dell'equazione.

0 = - 7

$0 = - 7$

0 = 17

$0 = 17$

Step 5

Scrivi il sistema di equazioni sotto forma di matrice.

[\begin{matrix} 17 - 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 17 \\ - 7 \end{array}]$

Step 6

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon della matrice.

Tocca per altri passaggi...

Esegui le due operazioni in riga

R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ su

R_{1}

$R_{1}$ (riga

1

$1$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in

1

$1$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci

R_{1}

$R_{1}$ (riga

1

$1$ ) con l'operazione in riga

R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato

1

$1$ .

[\begin{matrix} \frac{1}{17} R_{1} - 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{17} R_{1} \\ - 7 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$

Sostituisci

R_{1}

$R_{1}$ (riga

1

$1$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga

R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$ .

[\begin{matrix} (\frac{1}{17}) \cdot (17) - 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{17}) \cdot (17) \\ - 7 \end{array}]$

R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}

$R_{1} = \frac{1}{17} R_{1}$

Semplifica

R_{1}

$R_{1}$ (riga

1

$1$ ).

[\begin{matrix} 1 - 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}]$

[\begin{matrix} 1 - 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \end{array}]$

Esegui le due operazioni in riga

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ su

R_{2}

$R_{2}$ (riga

2

$2$ ) per convertire alcuni elementi nella riga in

0

$0$ .

Tocca per altri passaggi...

Sostituisci

R_{2}

$R_{2}$ (riga

2

$2$ ) con l'operazione in riga

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ per convertire alcuni elementi nella riga nel valore desiderato

0

$0$ .

[\begin{matrix} 1 7 \cdot R_{1} + R_{2} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ 7 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Sostituisci

R_{2}

$R_{2}$ (riga

2

$2$ ) con gli effettivi valori degli elementi per l'operazione in riga

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

[\begin{matrix} 1 (7) \cdot (1) - 7 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 1 \\ (7) \cdot (1) - 7 \end{array}]$

R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}

$R_{2} = 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

Semplifica

R_{2}

$R_{2}$ (riga

$2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 7

Utilizza la matrice risultante per determinare le soluzioni finali del sistema di equazioni.

$0 = 1$

Step 8

Questa espressione è l'insieme di soluzioni per il sistema di equazioni.

${}$

Step 9

Scomponi un vettore soluzione riorganizzando ogni equazione rappresentata a scala ridotta per righe della matrice aumentata, risolvendo per la variabile dipendente in ogni riga che dà l'uguaglianza del vettore.

$X = = [\begin{array}{c} 0 \end{array}]$

Step 10

Lo spazio nullo dell'insieme è l'insieme di vettori creati dalle variabili libere del sistema.

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$

Step 11

Il nucleo di

$M$ è il sottospazio

${[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$ .

$K (M) = {[\begin{array}{c} 0 \end{array}]}$